Один из первых вопросов, которые задают себе выпускники, взявшиеся за параметр: рисовать или считать. Учебники и репетиторы нередко отвечают по-разному, и от этого появляется ощущение, что где-то есть единственно правильный путь. Его нет.
Три метода из материалов ФИПИ
В материалах для экспертов названы три самых распространённых подхода:
- чисто алгебраический, когда условие разбирают выкладками и неравенствами;
- через геометрическую модель, когда уравнения превращаются в линии на плоскости;
- функциональный, когда в центре решения стоит сама функция и её поведение.
Там же сказано, что графический метод «зачастую (но далеко не всегда)» яснее ведёт к цели и что в одном решении методы можно смешивать. Оценивают продвижение в решении, а не сходство с эталоном, и полнота решения проверяется независимо от выбранного пути.
Одна задача двумя способами
Уравнение x² − 4x + a = 0 должно иметь два различных корня. Алгебраически: дискриминант равен 16 − 4a, он положителен при a < 4. Графически: переписываем как a = 4x − x², рисуем параболу ветвями вниз с вершиной в точке (2; 4) и горизонтальную прямую y = a. Две точки пересечения есть, пока прямая ниже вершины, то есть снова при a < 4.
Ответы совпали. Такая сверка двумя методами полезна в начале подготовки: она показывает, где вы ошибаетесь чаще.
Где графика подводит
В методических рекомендациях ФИПИ есть оговорка: картинка помогает увидеть ответ, но эксперт ждёт аналитического обоснования. Граничные значения a, число корней и ограничения на область определения доказывают вычислениями, а не берут с рисунка.
Типичная ситуация: на чертеже видно, что прямая касается параболы, и выпускник пишет найденное «на глаз» значение. Для касания нужно составить квадратное уравнение и найти, при каком a его дискриминант равен нулю. Без этого шага ответ не считается обоснованным.
Как выбрать свой метод
Решите несколько простых задач обоими способами и посчитайте, где ошибок меньше. Если вы уверенно строите графики модуля, корня, параболы и окружности, геометрическая модель обычно быстрее. Если графики даются тяжело, надёжнее алгебра, а рисунок пусть останется черновой подсказкой.
Как задача устроена на экзамене, сколько за неё дают баллов и кому вообще стоит за неё браться, разобрано здесь: https://sub-cult.ru/chtivo/statji/17012-zadachi-s-parametrom-v-ege-chto-eto-i-stoit-li-za-nikh-bratsya
Частые вопросы
Снизят ли балл за «не тот» метод? Нет. Полноту и обоснованность оценивают независимо от выбранного метода.
Можно ли начать с графика, а закончить вычислениями? Да, смешивать методы в одном решении разрешено.
Что повторить перед графическим методом? Свойства и графики линейной и квадратичной функций, модуля, корня, окружности.